Sistem Bilangan Real

Sistem Bilangan Real


Tahu bilangan, kan? Bilangan merupakan konsep di dalam matematika yang digunakan untuk perhitungan, pengukuran dan pencacahan. Himpunan bilangan terbagi ke dalam beberapa kelompok, dan himpunan bilangan terbesar adalah bilangan kompleks, yang memuat di dalamnya himpunan bilangan riil. Ternyata di dalam himpunan bilangan riil juga memuat himpunan bilangan lain, seperti himpunan bilangan irasional, bilangan rasional, bilangan bulat, dan bilangan asli.

Apa yang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional?
  • Bilangan Real adalah bilangan-bilangan yang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional.
  •  Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat.
  • Bilangan Irasional adalah bilangan-bilangan real yang tak dapat dinyatakan sebagai p/q dengan p,q bilangan bulat. 
Apa yang dimaksud dengan pertidaksamaan, dan himpunan penyelesaian?
  • Pertidaksamaan adalah hubungan matematika yang mengandung tanda salah satu dari <,>,<=,>=, dan suatu variabel.
  • Semua himpunan bilangan real yang memenuhi pertidaksamaan dinamakan himpunan penyelesaian.
  • Penyelesaian pertidaksamaan dapat diperoleh dengan menggunakan sifat-sifat urutan yang telah dibicarakan pada pasal sebelumnya. 
Bagimana cara menentukan tanda pertidaksamaan? 
  • Untuk pertidaksamaan yang terdiri dari sejumlah berhingga faktor linear di ruas kiri dengan ruas kanannya nol, tandanya dapat ditentukan dengan cara berikut:
  • Tetapkan tanda dari suatu selang bagiannya.
  • Bila melintasi nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat bilangan ganjil, maka tanda selang bagian berikutnya berubah.
  • Bila melintasi nilai batas yang berasal dari faktor linear berpangkat bilangan genap, maka tanda selang bagian berikutnya tetap.

Sifat-sifat operasi Bilangan Real

Sifat-sifat yang berlaku pada bilangan real dengan operasi “penjumlahan” dan “perkalian”.
Untuk setiap a,b,c, r in   , beralaku sifat-sifat berikut;
Penjumlahan:
1. Sifat tertutup pada penjumlahan;
a+b=r
2. Sifat komutatif pada penjumlahan
a+b=b+a
3. Sifat asosiatif pada penjumlahan
(a+b)+c = a+(b+c)
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada penjumlahan (0 adalah elemen identitas atau elemen netral)
a+0 = 0+a = a
6. Sifat invers pada penjumlahan
a+(-a)=(-a)+a=0
Perkalian:
1. Sifat tertutup pada perkalian
a times b = r
2. Sifat komutatif pada perkalian
a times b = btimes a
3. Sifat asosiatif pada perkalian
(atimes b) times c = atimes (btimes c )
4. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

5. Sifat identitas pada perkalian (1 adalah elemen identitas perkalian)
atimes 1 = 1times a = a
6. Sifat invers pada perkalian tidak berlaku, sebab 0 tidak mempunyai invers.
clip_image145
(untuk clip_image147)
clip_image149
(tidak ada/tidak didefinisikan).
     
   CONTOH SOAL PERSAMAAN
  persamaan adalah suatu kalimat matematika yang memiliki variabel dengan tanda hubung “ = “ , sehingga memerlukan penyelesaian khusus  untuk mencari nilai variabel tersebut.
                  PERSAMAAN LINIER
1. Pengertian pers.linier : kalimat terbuka mengandung hubungan (relasi) sama dengan.
2. Persamaan linier satu variabel
Bentuk umum :
ax + b = 0                  Ket : a = koefisien variabel x
                                               x = variabel
                                               b = konstanta
a, b є R , a ≠ 0
contoh : 4x + 8 = 0
        pernyataan  menjadi benar jika nilai x adalah (-2)
3. Himpunan penyelesaian persamaan linier
     Contoh :
a.       2x + 4 = x + 7
2x – x = 7 – 4
         x = 3               Hp = {3}
b.      8x – 3 = 4 (x + 1) +5
8x – 3 = 4x + 4 + 5
8x – 3 = 4x + 9
8x–4x = 9 + 3
       4x = 12

         x = 3                Hp = {3}
1.       PERTIDAKSAMAAN
   Pertidaksamaan adalah sebuah kalimat matematika yang mempunyai variabel dengan menggunakan tanda penghubung “<, >, ≤, ≥, ≠”
     Contoh : 2x + 5 > 8
1.         PERTIDAKSAMAAN LINIER

    Contoh :   2x + 5 > 3

                    2x > 3 – 5               Hp = {-1 , ~}                                                       
                    2x > -2
                     X > -²⁄₂  --> x > -1
2.        PERTIDAKSAMAAN NON LINIER
Contoh : x² - 5x + 6 > 0
                  x² - 5x + 6 =0
                 (x – 3) (x – 2)
                  x– 3 = 0    x – 2 = 0
                  x = 3          x = 2
3.        PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
* Nilai mutlak dituliskan dengan (x) didefinisikan dengan |x| = x jika x ≥ 0 dan = -x jika x < 0
    Misal : |5| = 5, |-5| = 5, |0| = 0
* Sifat-sifat nilai mutlak:    1. |ab| = |a| |b|
                                                   2. |a/b| = |a|/|b|
                                                   3. |a + b| = |a| + |b|
                                                   4. |a – b| = |a| - |b|
Contoh soal:
|3x – 5| ≥ 1
3x – 5 ≤ -1    atau   3x – 5 ≥ 1 
3x ≤ -1 + 5               3x ≥ 1 +5

3x ≤ 4                       3x ≥ 6

 x ≤ ⁴⁄₃                     x ≥ 2


Sekian materi tentang Sistem Bilangan Real pada Mata Kuliah Kalkulus.
Terima kasih sudah membaca blog ini :)

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

limit fungsi eksponensial

FUNGSI EKSPONENSIAL SEBAGAI LIMIT 3.1  Barisan Fungsi dan Limit Salah satu manfaat dari barisan fungsi adalah dapat digunakan untuk memperoleh aproksimasi untuk suatu fungsi tertentu sehingga dapat mendefinisikan fungsi baru yang telah diketahui sebelumnya ke dalam bentuk lainnya. Oleh sebab itu, untuk mendefinisikan fungsi eksponensial dalam bentuk limit, dapat dimulai dengan mengkaji suatu barisan fungsi. Barisan fungsi merupakan suatu pengaitan 𝑛 terhadap 𝑓𝑛 dimana 𝑛 ∈ ℕ. Dalam hal ini, 𝑓𝑛 merupakan fungsi dan memiliki daerah asal yang sama untuk tiap 𝑛 ∈ ℕ. Misalkan diberikan 𝐸 ⊆ ℝ dan untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ terdapat suatu fungsi 𝑓𝑛 ∶ 𝐸 → ℝ, maka dapat dikatakan bahwa 𝑓𝑛 merupakan suatu barisan fungsi pada 𝐸 terhadap  ℝ. Sebagai contoh, misalkan terdapat sebuah barisan fungsi 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛, dimana 𝑥 ∈ [0,1], untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ. Maka dapat dikatakan bahwa fungsi 𝑓𝑛 ∶ [0,1] → ℝ, atau dalam kata lain 𝑓𝑛 merupakan suatu barisan fungsi pada [0,1] terhadap ℝ....
Baca selengkapnya

limit tak tentu

Gambar
Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi Adasaatnya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya ialah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan. Limit Bentuk 0/0 Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam ketika kita menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a 2 -b 2  = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya : Bentuk ∞/∞ Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti : Contoh Soal Coba kalian tentukan Jawaban Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk  ∞/∞ Jika m<n maka L = 0 Jika m=n maka L = a/p Jika m>n maka L = ∞ Bentuk Limit (∞-∞) Ben...
Baca selengkapnya

bentuk tak tentu limit fungsi

PERILAKU NOL DAN TAK-HINGGA SERTA BENTUK TAK-TENTU Sumardyono, M.Pd. A. PENDAHULUAN Aritmetika dimulai dari perhitungan bilangan asli y ang masih sederhana. Kemudian berkembang dengan menggunakan bilangan cacah dan bi langan bulat. Pada saat pengerjaan hitung menggunakan bilangan bulat, ada saatnya kita berhadapan dengan suatu bentuk yang tidak dapat dipahami dengan mudah. Misalnya bentuk pembagian 1/0. Apaka h ini suatu bilangan (tertentu) ataukah bukan bilangan . Dapat ditunjukkan bahwa bentuk pembagian dengan nol di atas merupakan bentuk yang tidak terdefinisi ( undefined ). Andaikan ada bilangan k sedemikian hingga 1/0 = k maka berdasarkan definisi pembagian sebagai invers dari perkalian, bentuk tersebut ekui valen dengan 1 = 0. k . Tetapi segera kita dapatkan bahwa ekspresi matematika yang terakhir tidaklah benar karena setiap bilangan jika dikali nol maka hasilnya nol. Jadi, tidak mungkin ada bilangan k ters...
Baca selengkapnya