turunan fungsi

Penerapan Turunan: Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama

Posted on 24 Maret 2015 by

Uji Turunan Pertama

Setelah kita menentukan selang di mana suatu fungsi naik atau turun, selanjutnya kita akan mudah dalam menentukan lokasi nilai ekstrim lokal fungsi tersebut. Sebagai contoh, pada gambar di bawah ini, fungsi
Uji Turunan Pertama
memiliki maksimum lokal pada titik (0, 0) karena f naik ketika nilai x di sebelah kiri x = 0 dan turun ketika x di sebelah kanan x = 0.
Ilustrasi Maks dan Min Lokal
Selain itu kita juga dapat melihat bahwa f memiliki minimum lokal pada titik (1, –1/2) karena f turun ketika x di sebelah kiri x = 1 dan naik ketika x berada di sebelah kanan x = 1. Ilustrasi tersebut lebih dijabarkan oleh teorema berikut.
Teorema Uji Turunan Pertama
Misalkan c suatu nilai kritis fungsi f yang kontinu pada selang buka I yang memuat c. Jika f terdiferensialkan pada selang tersebut, kecuali mungkin pada c, maka f(c) dapat diklasifikasikan sebagai berikut.
  1. Jika f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
  2. Jika f ’(x) berubah dari positif menjadi negatif pada c, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).
  3. Jika f ’(x) bernilai positif pada kedua sisi c atau negatif pada kedua sisi c, maka f(c) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal.
Teorema Uji Turunan Pertama
Pembuktian Asumsikan bahwa f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c. Maka ada a dan b dalam I sedemikian sehingga f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, c) dan f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (c, b). Berdasarkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, f turun pada [a, c] dan naik pada [c, b]. Sehingga, f(c) minimum f pada selang buka (a, b) dan, akibatnya, f(c) merupakan minimum lokal f. Hal ini sudah membuktikan kasus pertama teorema tersebut. Untuk kasus yang kedua dapat dibuktikan dengan jalan yang serupa.
Contoh 2: Menerapkan Uji Turunan Pertama
Tentukan nilai ekstrim lokal f(x) = ½ x – sin x dalam selang (0, 2π).
Pembahasan Perhatikan bahwa f kontinu pada selang (0, 2π). Turunan f adalah f ’(x) = ½ – cos x. Untuk menentukan nilai kritis f dalam selang ini, kita tentukan pembuat nol f’(x).
Contoh 2 Nilai Kritis
Karena tidak ada titik sedemikian sehingga f ’ tidak ada, kita dapat menyimpulkan bahwa hanya x = π/3 dan x = 5π/3 yang menjadi titik-titik kritis fungsi tersebut. Tabel berikut merangkum uji tiga selang yang ditentukan oleh dua nilai kritis tersebut.
Selang 0 < x < π/3 π/3 < x < 5π/3 5π/3 < x < 2π
Uji Nilai x = π/4 x = π x = 7π/4
Tanda f ’(x) f ’(π/4) < 0 f ’(π) > 0 f ’(7π/4) < 0
Kesimpulan Turun Naik Turun
Dengan menerapkan Uji Turunan Pertama, kita dapat menyimpulkan bahwa f memiliki minimum lokal pada titik di mana x = π/3 dan maksimum lokal pada titik di mana x = 5π/3, seperti yang ditunjukkan oleh gambar berikut.
Contoh 2

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

limit fungsi eksponensial

FUNGSI EKSPONENSIAL SEBAGAI LIMIT 3.1  Barisan Fungsi dan Limit Salah satu manfaat dari barisan fungsi adalah dapat digunakan untuk memperoleh aproksimasi untuk suatu fungsi tertentu sehingga dapat mendefinisikan fungsi baru yang telah diketahui sebelumnya ke dalam bentuk lainnya. Oleh sebab itu, untuk mendefinisikan fungsi eksponensial dalam bentuk limit, dapat dimulai dengan mengkaji suatu barisan fungsi. Barisan fungsi merupakan suatu pengaitan 𝑛 terhadap 𝑓𝑛 dimana 𝑛 ∈ ℕ. Dalam hal ini, 𝑓𝑛 merupakan fungsi dan memiliki daerah asal yang sama untuk tiap 𝑛 ∈ ℕ. Misalkan diberikan 𝐸 ⊆ ℝ dan untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ terdapat suatu fungsi 𝑓𝑛 ∶ 𝐸 → ℝ, maka dapat dikatakan bahwa 𝑓𝑛 merupakan suatu barisan fungsi pada 𝐸 terhadap  ℝ. Sebagai contoh, misalkan terdapat sebuah barisan fungsi 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛, dimana 𝑥 ∈ [0,1], untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ. Maka dapat dikatakan bahwa fungsi 𝑓𝑛 ∶ [0,1] → ℝ, atau dalam kata lain 𝑓𝑛 merupakan suatu barisan fungsi pada [0,1] terhadap ℝ....
Baca selengkapnya

limit tak tentu

Gambar
Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi Adasaatnya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya ialah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan. Limit Bentuk 0/0 Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam ketika kita menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a 2 -b 2  = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya : Bentuk ∞/∞ Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti : Contoh Soal Coba kalian tentukan Jawaban Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk  ∞/∞ Jika m<n maka L = 0 Jika m=n maka L = a/p Jika m>n maka L = ∞ Bentuk Limit (∞-∞) Ben...
Baca selengkapnya

bentuk tak tentu limit fungsi

PERILAKU NOL DAN TAK-HINGGA SERTA BENTUK TAK-TENTU Sumardyono, M.Pd. A. PENDAHULUAN Aritmetika dimulai dari perhitungan bilangan asli y ang masih sederhana. Kemudian berkembang dengan menggunakan bilangan cacah dan bi langan bulat. Pada saat pengerjaan hitung menggunakan bilangan bulat, ada saatnya kita berhadapan dengan suatu bentuk yang tidak dapat dipahami dengan mudah. Misalnya bentuk pembagian 1/0. Apaka h ini suatu bilangan (tertentu) ataukah bukan bilangan . Dapat ditunjukkan bahwa bentuk pembagian dengan nol di atas merupakan bentuk yang tidak terdefinisi ( undefined ). Andaikan ada bilangan k sedemikian hingga 1/0 = k maka berdasarkan definisi pembagian sebagai invers dari perkalian, bentuk tersebut ekui valen dengan 1 = 0. k . Tetapi segera kita dapatkan bahwa ekspresi matematika yang terakhir tidaklah benar karena setiap bilangan jika dikali nol maka hasilnya nol. Jadi, tidak mungkin ada bilangan k ters...
Baca selengkapnya