implisit


1                                          TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Apa yang dimaksud dengan fungsi implisit ?
Fungsi implisit yaitu fungsi yang memuat dua variabel atau lebih. Variabel-variabel tersebut terdiri dari variabel bebas dan variabel tidak bebas. Biasanya variable-variabel tersebut dinyatakan dalam x dan y. Dimana variabel x dan y terletak didalam satu ruas sehingga tidak dapat dipisahkan menjadi ruas yang berbeda (baca : ruas kiri dan ruas kanan) seperti halnya fungsi eksplisit. Fungsi Implisit adalah secara umum dapat ditulis sebagai f(x,y) = 0 , dengan y sebagai fungsi dalam x. Fungsi ini dapat dinotasikan dengan y = f (x) yang disebut fungsi eksplisit, yaitu antara variabel bebas dan variabel tak bebasnya di tulis dalam ruas yang berbeda.
Dengan sedikit usaha, kebanyakan mahasiswa akan mampu melihat bahwa grafik dari
y
tampak seperti gambar dibawah ini.
1
2
1
2
x
(2, 1)

 









titik (2.1) terletak pada grafik, dan tampaknya terdapat sebuah garis singgung yang terumuskan dengan baik pada titik tersebut. Bagaimana kita mencari kemiringan garis singgung ini? Mudah, anda dapat menjawab : hitung saja dy/dx pada titik itu. Tetapi itulah kesukarannya, kita tidak tahu bagaimana mencari dy/dx dalam situasi ini. Elemen baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan yang secara gamblang (eksplisit) tidak terselesaikan untuk y. Apakah mungkin untuk mencari dy/dx dalam keadaan seperti ini? Ya, diferensialkan kedua ruas persamaan :
terhadap x dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan ini, kita anggap bahwa persamaan yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi x (hanya saja kita tidak tahu bagaimana mencarinya secara eksplisit). Jadi setelah memakai aturan rantai pada suku pertama, kita peroleh
Yang belakangan dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut :
Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk dy/dx mencakup x dan y, suatu kenyataan yang sering menyusahkan. Tetapi kita hanya ingin mencari kemiringan pada sebuah titik di mana koordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran.
Di titik (2, 1)
Jadi kemiringan garis tersebut adalah .
Dari hasil penggambaran di atas maka dapat di ambil suatu konklusi sebagai berikut.
Untuk mencari turunan fungsi implisit ada dua cara yang biasa di tempuh :
1.    Jika fungsi implisit {f(x,y) = 0} dapat diselesaikan ke-y atau dapat dengan mudah diubah menjadi fungsi eksplisit y = f(x) maka untuk mendapatkan dy/dx dengan mudah seperti cara yang biasa.



Contoh :
4x2y – 3y = x3 – 1
Fungsi implisit di atas dapat kita ubah menjadi fungsi eksplisit.
Fungsi implisit diatas sudah berubah menjadi fungsi eksplisit yang dapat dengan mudah di turunkan.

2.    Jika fungsi implisit {f (x,y) = 0} sulit diselesaikan ke dalam y atau diubah menjadi fungsi eksplisit maka perlu cara lain bagaimana mencari turunan fungsi implisit seperti contoh dibawah ini
Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari
Setelah memakai Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita dapatkan
Walaupun jawaban ini kelihatan berlainan dengan jawaban terdahulu, tetapi keduanya sama. Untuk itu, kita ganti  dalam fungsi  yang baru kita dapatkan tadi.
CONTOH SOAL :
Jika y adalah fungsi implisit dari x yang termuat dalam persamaan
tentukan
Penyelesaian :
Fungsi implisit di atas cukup sulit dan rumit untuk dijadikan fungsi eksplisit. Sehingga kita menggunakan cara kedua. Dengan menggunakan turunan fungsi implisit dan turunan fungsi elementer di peroleh

BEBERAPA KESUKARAN YANG TAK KENTARA
Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y = f(x) dan fungsi ini terdiferensialkan, maka metode pendiferensialan implisit akan menghasilkan sebuah ungkapan yang benar untuk dy/dx. Terdapat dua “jika” besar dalam pernyataan ini.
Pertama, perhatikan persamaan
persamaan diatas tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu tidak menentukan suatu fungsi.
sebaliknya,
menentukan fungsi-fungsi y = f(x) =  dan fungsi y = g(x) = . Grafik-grafik mereka diperlihatkan dalam gambar dibawah ini.

1
2
3
4
1
2
3
4
x
y
(3, 4)
f(x) =
f(x) =
1
2
3
4
-4
-3
-2
-1
x
y
(3, -4)
 




















Untungnya, fungsi ini keduanya terdiferensialkan pada (-5, 5). Pertama perhatikan f. Ia memenuhi
Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan untuk f ‘ (x), kita peroleh
Perlakuan serupa secara lengkap terhadap g(x) menghasilkan
Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak dengan pendiferensialan secara implisit dari , ini memberikan
 




Secara wajar, hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.
Perhatikan bahwa adalah cukup untuk mengetahui    agar dapat menerapkan hasil-hasil kita. Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis singgung pada lingkaran  bilaman x = 3, nilai-nilai y yang berpadanan adalah 4 dan – 4. Kemiringan di (3, 4) dan (3, – 4), masing-masing diperoleh dari penggantian  adalah  dan .



CONTOH SOAL :
1.    Cari       jika
Penyelesaian :
2.    Cari      jika
Penyelesaian :
3.    TURUNAN FUNGSI PARAMETER
Jika x = f(t) dan y = g(t) terdefinisi pada selang D ⊆ R, aturan
x = f(t)
y = g(t)
, t ∈ D
 



dinamakan fungsi parameter. Pada aturan ini, t dinamakan parameter, dan himpunan titik (x,y) ∈ R2 dinamakan grafik fungsi parameter.
Pada fungsi parameter, jika y terdiferensialkan terhadap x, atau x terdiferensialkan terhadap y, maka kita dapat menentukan turunannya. Karena y adalah fungsi dari x, maka kita dapat memisalkan y = F(x). Karena x juga merupakan fungsi dari t, maka kita mempunyai fungsi komposisi y = F(x(t)), dengan t pada selang D.
Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh
sehingga dalam kasus    hubungan ini menghasilkan
Rumus ini dikenal sebagai turunan fungsi parameter.








Turunan Fungsi Parameter
Untuk fungsi parameter
jika fungsi x dan y terdiferensialkan terhadap t, dan  pada D, maka fungsi y terdiferensialkan terhadap x, dengan aturan yang di tentukan oleh

, D suatu selang,
 











CONTOH SOAL
Tentukan       dari fungsi parameter
x = 4t2 – 4t
y = 1 – 4t2
, t ≥ ½
 




Penyelesaian :
  dan 


Sekarang kita nyatakan     sebagai fungsi dari x
 , t ≥ ½














DaftarPustaka


1.    ____. e-paper. http://soulmath4u.blogspot.co.id/2014/02/turunan-fungsi-implisit.html
2.    ____. e-paper. http://eko.staff.uns.ac.id/files/2012/08/Kuliah-ke-8-2014.pdf
3.    Martono, Koko, Drs, M.Si. 1999. Kalkulus. ITB Bandung. Penerbit Erlangga.
4.    Nuromah, Siti, et al. e-paper. 2014. MAKALAH KALKULUS 1 turunan tingkat tinggi dan turunan fungsi implisit. UNIVERSITAS ISLAM MALANG FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN JURUSAN MATEMATIKA. http://mamluatunnikmah13.blogspot.co.id/
5.    Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri Analitis. Jilid 1. Jakarta. Penerbit Erlangga.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

limit fungsi eksponensial

FUNGSI EKSPONENSIAL SEBAGAI LIMIT 3.1  Barisan Fungsi dan Limit Salah satu manfaat dari barisan fungsi adalah dapat digunakan untuk memperoleh aproksimasi untuk suatu fungsi tertentu sehingga dapat mendefinisikan fungsi baru yang telah diketahui sebelumnya ke dalam bentuk lainnya. Oleh sebab itu, untuk mendefinisikan fungsi eksponensial dalam bentuk limit, dapat dimulai dengan mengkaji suatu barisan fungsi. Barisan fungsi merupakan suatu pengaitan 𝑛 terhadap 𝑓𝑛 dimana 𝑛 ∈ ℕ. Dalam hal ini, 𝑓𝑛 merupakan fungsi dan memiliki daerah asal yang sama untuk tiap 𝑛 ∈ ℕ. Misalkan diberikan 𝐸 ⊆ ℝ dan untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ terdapat suatu fungsi 𝑓𝑛 ∶ 𝐸 → ℝ, maka dapat dikatakan bahwa 𝑓𝑛 merupakan suatu barisan fungsi pada 𝐸 terhadap  ℝ. Sebagai contoh, misalkan terdapat sebuah barisan fungsi 𝑓𝑛(𝑥) = 𝑥𝑛, dimana 𝑥 ∈ [0,1], untuk setiap 𝑛 ∈ ℕ. Maka dapat dikatakan bahwa fungsi 𝑓𝑛 ∶ [0,1] → ℝ, atau dalam kata lain 𝑓𝑛 merupakan suatu barisan fungsi pada [0,1] terhadap ℝ....
Baca selengkapnya

limit tak tentu

Gambar
Cara Mengerjakan Limit Fungsi yang Tidak Terdefinisi Adasaatnya penggantian niali x oleh a dalam lim f(x) x→a membuat f(x) punya nilai yang tidak terdefinisi, atau f(a) menghasilkan bentuk 0/0, ∞/∞ atau 0.∞. Jika terjadi hal tersebut solusinya ialah bentuk f(x) coba sobat sederhanakan agar nilai limitnya dapat ditenntukan. Limit Bentuk 0/0 Bentuk 0/0 kemungkinan timbul dalam ketika kita menemukan  bentuk seperti itu coba untuk utak-utik fungsi tersebut hingga ada yang bisa dicoret. Jika itu bentuk persamaan kuadrat kita bisa coba memfaktorkan atau dengan cara asosiasi dan jangan lupakan ada aturan a 2 -b 2  = (a+b) (a-b). Berikut adalah contohnya : Bentuk ∞/∞ Bentuk limit  ∞/∞ terjadi pada fungsi suku banyak (polinom) seperti : Contoh Soal Coba kalian tentukan Jawaban Berikut merupakan rangkuman rumus cepat limit matematika bentuk  ∞/∞ Jika m<n maka L = 0 Jika m=n maka L = a/p Jika m>n maka L = ∞ Bentuk Limit (∞-∞) Ben...
Baca selengkapnya

bentuk tak tentu limit fungsi

PERILAKU NOL DAN TAK-HINGGA SERTA BENTUK TAK-TENTU Sumardyono, M.Pd. A. PENDAHULUAN Aritmetika dimulai dari perhitungan bilangan asli y ang masih sederhana. Kemudian berkembang dengan menggunakan bilangan cacah dan bi langan bulat. Pada saat pengerjaan hitung menggunakan bilangan bulat, ada saatnya kita berhadapan dengan suatu bentuk yang tidak dapat dipahami dengan mudah. Misalnya bentuk pembagian 1/0. Apaka h ini suatu bilangan (tertentu) ataukah bukan bilangan . Dapat ditunjukkan bahwa bentuk pembagian dengan nol di atas merupakan bentuk yang tidak terdefinisi ( undefined ). Andaikan ada bilangan k sedemikian hingga 1/0 = k maka berdasarkan definisi pembagian sebagai invers dari perkalian, bentuk tersebut ekui valen dengan 1 = 0. k . Tetapi segera kita dapatkan bahwa ekspresi matematika yang terakhir tidaklah benar karena setiap bilangan jika dikali nol maka hasilnya nol. Jadi, tidak mungkin ada bilangan k ters...
Baca selengkapnya